极限定义证明

时间：2022-11-20 14:35:38 证明范文我要投稿

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极限定义证明

　　证明，释义是指根据确实的材料判明人或事物的真实性。以下是小编收集整理的极限定义证明，仅供参考，大家一起来看看吧。

极限定义证明

　　趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0

　　x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2

　　这两个用函数极限定义怎么证明?

　　x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0

　　证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式

　　|sinx/√x-0|=|sinx/√x|<ξ成立，只需要

　　|sinx/√x|^2<ξ^2，即sinx^2/x<ξ^2(∵x→+∞)，则x>sinx^2/ξ^2，

　　∵|sinx| ≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，

　　所以取X=1/ξ^2，当x>X时，必有|sinx/√x-0|<ξ成立，

　　同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0.

　　x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2

　　证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式

　　|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<ξ成立，只

　　需要0<|x+1/2|<ξ/2成立.所以取δ=ξ/2，则当0<|x+1/2|<δ时，必有

　　|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|<ξ，

　　由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2.

　　注意，用定义证明X走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0.

　　记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷;

　　下面证明limg(x)=max{a1，...am}，x趋于正无穷。把max{a1，...am}记作a。

　　不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0，M>1;

　　那么存在N1，当x>N1，有a/M<=f1(x)

　　注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0<=f2(x)

　　同理，存在Ni，当x>Ni时，0<=fi(x)

　　取N=max{N1，N2...Nm};

　　那么当x>N，有

　　(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n

　　所以a/M<=[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)

　　对n取极限，所以a/M<=g(x)N时成立;

　　令x趋于正无穷，

　　a/M<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=b;

　　注意这个式子对任意M>1，b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。

　　令M趋于正无穷，b趋于a;

　　有a<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=a;

　　这表明limg(x)=a;

　　证毕;

　　证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。

　　还有个看起来简单些的方法

　　记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷;

　　g(x)=max{f1(x)，....fm(x)};

　　然后求极限就能得到limg(x)=max{a1，...am}。

　　其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。

　　有种简单点的方法，就是

　　max{a，b}=|a+b|/2+|a-b|/2 从而为简单代数式。

　　多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，

　　故极限可以放进去。

　　一)时函数的极限：

　　以时和为例引入。

　　介绍符号: 的意义，的直观意义。

　　定义 ( 和 . )

　　几何意义介绍邻域其中为充分大的正数。然后用这些邻域语言介绍几何意义。

　　例1验证例2验证例3验证证 ……

　　(二)时函数的极限：

　　由考虑时的极限引入。

　　定义函数极限的“ ”定义。

　　几何意义.

　　用定义验证函数极限的基本思路。

　　例4 验证例5 验证例6验证证由 =

　　为使需有为使需有于是，倘限制，就有

　　例7验证例8验证 ( 类似有 (三)单侧极限:

　　1.定义：单侧极限的定义及记法。

　　几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义。

　　例9验证证考虑使的 2.单侧极限与双侧极限的关系:

　　Th类似有: 例10证明: 极限不存在。

　　例11设函数在点的某邻域内单调。若存在，则有

　　= §2 函数极限的性质(3学时)

　　教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

　　教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

　　教学重点：函数极限的性质及其计算。

　　教学难点：函数极限性质证明及其应用。

　　教学方法：讲练结合。

　　一、组织教学：

　　我们引进了六种极限: ，以下以极限为例讨论性质。均给出证明或简证。

　　二、讲授新课：

　　(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出。

　　1.唯一性:

　　2.局部有界性:

　　3.局部保号性:

　　4.单调性( 不等式性质 ):

　　Th 4若和都存在，且存在点的空心邻域，使，都有证设 = ( 现证对有 )

　　註:若在Th 4的条件中，改“ ”为“ ”，未必就有以举例说明。

　　5.迫敛性:

　　6.四则运算性质:( 只证“+”和“ ”)

　　(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

　　(注意前四个极限中极限就是函数值 )

　　这些极限可作为公式用。在计算一些简单极限时，有五组基本极限作为公式用，我们将陆续证明这些公式。

　　利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质，把所求极限化为基本极限，代入基本极限的值，即计算得所求极限。

　　例1( 利用极限和 )

　　例2例3註:关于的有理分式当时的极限。

　　例4 [ 利用公式 ]

　　例5例6例7

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