用导数证明不等式

时间：2023-04-29 18:14:34 证明范文我要投稿

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用导数证明不等式

最基本的方法就是将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数 f(x). 对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值(或者是最小值)大于 0. 这样就能说明原不等式了成立了!

用导数证明不等式

1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)

设函数f(x)=x-ln(x+1)

求导，f(x)\'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+无穷大)上为增函数

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+1

2..证明：a-a^2>0 其中0

F(a)=a-a^2

F\'(a)=1-2a

当00;当1/2

因此，F(a)min=F(1/2)=1/4>0

即有当00

3.x>0,证明：不等式x-x^3/6

先证明sinx

因为当x=0时，sinx-x=0

如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定<在0点的值0，

求导数有sinx-x的导数是cosx-1

因为cosx-1≤0

所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，

知sinx

再证x-x/6

对于函数x-x/6-sinx

当x=0时，它的值为0

对它求导数得

1-x/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数，它在0点的值是最大值了。

要证x/2+cosx-1>0 x>0

再次用到函数关系，令x=0时，x/2+cosx-1值为0

再次对它求导数得x-sinx

根据刚才证明的当x>0 sinx

x/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0

x/2-cosx-1<0 x>0

所以x-x/6-sinx是减函数，在0点有最大值0

得x-x/6

利用函数导数单调性证明不等式X-X>0，X∈(0,1)成立

令f(x)=x-x x∈[0,1]

则f\'(x)=1-2x

当x∈[0,1/2]时,f\'(x)>0,f(x)单调递增

当x∈[1/2,1]时,f\'(x)<0,f(x)单调递减

故f(x)的最大值在x=1/2处取得，最小值在x=0或1处取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值为零

故当x∈(0,1)f(x)=x-x>0。

i、m、n为正整数，且1

求证(1+m)^n > (1+n)^m

方法一：利用均值不等式

对于m+1个数，其中m个(2+m)，1个1,它们的算术平均数大于几何平均数，即

[(2+m)+(2+m)+...+(2+m)+1]/(m+1)>[(2+m)^m]^[1/(1+m)]

即1+m>(2+m)^[m/(1+m)]

即(1+m)^(1/m)>[1+(m+1)]^[1/(1+m)]

由此说明数列{(1+m)^(1/m)}是单调递减的。

方法二：导数方法

令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0

求导数

f\'(x)=(1+x)^(1/x)*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2

为了考察f\'(x)的正负

令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0

g\'(x)=-x/(1+x)^2<0,x>0

因此g(x)0,亦即f\'(x)<0

因此f(x)在(0,+∞)上单调递减。

令A*B*C=K的3次方

求证(1+A)的-(1/2)次方加(1+B)的-(1/2)次方加(1+C)的-(1/2)次方 >=(1+K)的-(1/2)次方

化成函数，f(x)，求导，可知其单调区间，然后求最大最小值即可。

理论上所有题目都可以用导数做，但有些技巧要求很高。

(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+C)^-1/2

=(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+K^3/AB)^-1/2=f(A,B)

对A求导，f'(A,B)A=0，可得一个方程，解出即得。

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