由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组

时间：2023-05-02 02:29:12 初中数学教案我要投稿

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第一课时

一、教学目标

1．使学生掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组的解法.

2. 通过例题的分析讲解，进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力；

3. 通过一个二元二次方程解法的分析，使学生进一步体会“消元”和“降次”的数学思想方法，继续向学生渗透“转化”的辨证唯物主义观点.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：通过把一个二元二次方程分解为两个二元一次方程来解由两个二元二次方程组成的方程组.

2．教学难点：正确地判断出可以分解的二元二次方程.

3．教学疑点：降次后的二元一次方程与哪个方程重新组成方程组，一定要分清楚.

4．解决办法：（1）看好哪个二元二次方程能分成两个二元一次方程，它们之间是“或”的关系，不能联立成方程组.（2）分解好的二元一次方程应与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组.

三、教学过程

1．复习提问

（1）我们所学习的二元二次方程组有哪几种类型？

（2）解二元二次方程组的基本思想是什么？

（3）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的基本方法是什么？其主要步骤是什么？

（4）解方程组： .

（5）把下列各式分解因式：

① ； ② ； ③ .

关于问题设计的说明：

由于二元二次方程组的第一节课已经向学生阐明了我们所研究的二元二次方程组有两种类型．其一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组；其二是由

两个二元二次方程所组成的方程组．由于第一种类型我们已经研究完，使学生自然而然地接

受了第二种类型研究的要求．关于问题（2）的提出，由于两种类型的二元二次方程组的解题思想均为“消元”和“降次”，所以问题（2）让学生懂得“消元”和“降次”的数学思想，贯穿于解二元二次方程组的始终．问题（3）、（4）是对上两节课内容的复习，以便学生对已学过的知识得到进一步的巩固．由于本节课的学习内容是由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法，其中有一个二元二次方程可以分解，因此，问题（5）的设计是为本节课的学习内容做准备的.

2．例题讲解

例1 解方程组

分析：这是一个由两个二元二次方程组成的二元二次方程组，其解题的基本思路仍为“消元”、“降次”，使之转化为我们已经学过的方程组或方程的解法．那么如何转化呢？关于转

化的形式有两种，要么降二次为一次，要么化二元为一元我们通过观察方程组中的两个方程有什么特点，可以发现：方程组（2）的右边是0，左边是一个二次齐次式，并且可以分解为，因此方程（2）可转化为，即或，从而可分别和方程（1）组成两个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，从而解出这两个方程组，得到原方程组的解．

解：由（2）得

因此，原方程组可化为两个方程组

解方程组，得原方程组的解为

说明：本题可由教师引导学生独立完成，教师应对学生的解题格式给予强调．

例2 解方程组

分析：这个方程组也是由两个二元二次方程组成的方程组，通过认真的观察与分析可以

发现方程（2）的左边是一个完全平方式，而右边是完全平方米，因此将右边16移到左边后可利用平方差公式进行分解，，即或，从而可仿例1的解法进行.

解：由（2）得

即，或 .

因此，原方程组可转化为两个方程组

解这两个方程组，得原方程组的解为

巩固练习：